Question

17．已知四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)、E分別是DC和CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DF=BE，連接AE、AF、EF
（1）求證：△ADF≌△ABE
（2）△ABE可以看成是△ADF以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到的
（3）連BD交EF于點(diǎn)H，猜想AH、EF的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ADF=∠BAD=90°，AB=AD，由SAS證明△ADF≌△ABE即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠DAF=∠BAE，證出∠EAF=90°，即可得出答案；
（3）由全等三角形的性質(zhì)得出∠EAF=90°，AE=AF，證出△AEF是等腰直角三角形，作FG⊥CD交BD于G，證出△DFG是等腰直角三角形，得出GF=DF=BE，由平行線得出△FGH∽△EBH，得出對(duì)應(yīng)邊成比例證出FH=EH，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADF=∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABE=90°，
在△ADF和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠ADF=∠ABE}&{\;}\\{DF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE（SAS）．

（2）解：由（1）得△ADF≌△ABE，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠BAE+∠BAF=90°，即∠EAF=90°，
∴△ABE可以看成是△ADF以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到的；
故答案為：A，90；

（3）解：AH=$\frac{1}{2}$EF，AH⊥EF；理由如下：
由（1）得：∠EAF=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
作FG⊥CD交BD于G，如圖所示：
則FG∥BC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠FDG=45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴GF=DF=BE，
∵FG∥BC，
∴△FGH∽△EBH，
∴FH：EH=GF：BE=1：1，
∴FH=EH，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH⊥EF．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．