Question

8．如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（0，6）．點B（6，6），點C（6，0），點D是射線OA（O，A除外）上的動點，點E是O點關于直線CD的對稱點，延長DE交直線AB于點F，連結CF．
（1）某探究小組發(fā)現(xiàn)：當點D在線段OA上時，有①EF=BF；②∠DCF=45°，請選擇其中一個證明．
（2）當AD=2時，求點F的坐標．
（3）探究小組又發(fā)現(xiàn)：如圖2．當點D在線段OA上時，射線CD、CF與射線OB分別交于點M，N，線段OM，MN，BN之間除了存在OM+MN+NB=6$\sqrt{2}$外，還存在著另外的等式關系，你能找到并寫出這個等式嗎？當點D不在線段OA上時，這兩個等式是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明Rt△CFE≌Rt△CFB，推出EF=BF，∠FCE=∠FCB，推出∠DCF=∠DCE+∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ECO+$\frac{1}{2}$∠ECB=$\frac{1}{2}$∠OCB=45°，由此即可解決問題；
（2）由AD=2，推出OD=DE=4，設EFF=FB=x，則AF=6-x，在Rt△ADF中，根據AD²+AF²=DF²可得2²+（6-x）²=（4+x）²，解方程即可解決問題；
（3）①如圖2中，當當D在線段OA上時，結論：MN²=OM²+NB²．只要證明△CNM≌△CNP，推出MN=PN，由∠OBC=∠CBP=45°，推出∠MBP=90°，可得BN²+BP²=PN²，由此即可解決問題；
②如圖3中，當點D在線段OA的延長線上時，結論不變．證明方法類似；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵O、E關于CD對稱，
∴OD=DE，OC=CE=CB，∠DCE=∠DCO，
∵CF=CF，
∴Rt△CFE≌Rt△CFB，
∴EF=BF，∠FCE=∠FCB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ECO+$\frac{1}{2}$∠ECB=$\frac{1}{2}$∠OCB=45°，
∴FE=FB，∠DCF=45°．

（2）解：如圖1中，
∵AD=2，
∴OD=DE=4，設EFF=FB=x，則AF=6-x，
在Rt△ADF中，∵AD²+AF²=DF²
∴2²+（6-x）²=（4+x）²，
∴x=$\frac{6}{5}$．

（3）解：①如圖2中，當當D在線段OA上時，結論：MN²=OM²+NB²．

理由：將△OCM繞點C順時針旋轉90°，得到△CBP．
∵∠DCF=45°，
∴∠OCM+∠BCN=45°，
∵∠OCM=∠BCP，
∴∠NCB+∠BCP=45°，
∴∠MCN=∠NCP，∵CN=CN，CM=CP，
∴△CNM≌△CNP，
∴MN=PN，
∵∠OBC=∠CBP=45°，
∴∠MBP=90°，
∴BN²+BP²=PN²，
∴MN²=OM²+NB²．

②如圖3中，當點D在線段OA的延長線上時，第一個結論變了：OM+MN-BN=6$\sqrt{2}$．理由：OM+MN-BN=OB=6$\sqrt{2}$．
第二個結論不變，理由如下：

理由：將△OCM繞點C順時針旋轉90°，得到△CBP．
易證∠DCO=∠DCE，∠FCE=∠FCB，
∴∠DCF=∠DCE-∠FCE=$\frac{1}{2}$∠OCE-$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠OCE-∠BCE）=45°，
∴∠OCM-∠BCN=45°，
∵∠OCM=∠BCP，
∴∠NCP=∠BCP-∠BCN=45°，
∴∠MCN=∠NCP=45°，
∵CN=CN，CM=CP，
∴△CNM≌△CNP，
∴MN=PN，
∵∠OBC=∠CBP=45°，
∴∠MBP=90°，
∴BN²+BP²=PN²，
∴MN²=OM²+NB²．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、對稱軸變換、旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．