Question

6．如圖①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連結(jié)PG、PC，
（1）求證：PG⊥PC，PG=$\sqrt{3}$PC；
（2）將圖①中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，其它條件不變（如圖②），（1）中的條件仍然成立，請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長GP交DC于H，先證明△DHP≌△FGP，得出HP=GP，DH=FG=BG，證出CH=CG，PG⊥PC，再求出∠CGP=30°，即可得出結(jié)論；
（2）延長GP交AD于Q，連結(jié)CQ、CG，先證明△DQP≌△FGP，得出DQ=FG=BG，QP=GP，再證明△CDQ≌△CBG，得出∠DCQ=∠BCG，CQ=CG，證出PG⊥PC，求出∠CGP=30°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：延長GP交DC于H，如圖①所示：
∵四邊形ABCD和BEFG均為菱形，
∴DC=BC，GF=BG，DC∥AE∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴DP=FP，
在△DHP和△FGP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HDP=∠GFP}&{\;}\\{∠DHP=∠FGP}&{\;}\\{DP=FP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴HP=GP，DH=FG=BG，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，即PG⊥PC，
∵∠ABC═60°，
∴∠HCG=180°-60°=120°，
∴∠CGP=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC；
（2）成立；理由如下：延長GP交AD于Q，連結(jié)CQ、CG，如圖②所示：
∵四邊形ABCD和BEFG均為菱形，
∴DC=BC，GF=BG，DA∥CE∥GF，
∴∠DQP=∠FGP，∠QDP=∠GFP，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴DP=FP，
在△DQP和△FGP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DQP=∠FGP}&{\;}\\{∠QDP=∠GFP}&{\;}\\{DP=FP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DQP≌△FGP（AAS），
∴DQ=FG=BG，QP=GP，
∵EF∥BG，
∴∠CBG=∠BEF=60°，
∵∠CDQ=∠ABC=60°，
∴∠CBG=∠CDQ，
在△CDQ和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BC}&{\;}\\{∠CDQ=∠CBG}&{\;}\\{DQ=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDQ≌△CBG（SAS），
∴∠DCQ=∠BCG，CQ=CG，
∴CP⊥QG，即PG⊥PC，
∵∠DCB=180°-60°=120°，即∠DCQ+∠BCQ=120°，
∴∠BCG+∠BCQ=120°，即∠QCG=120°，
∴∠CGP=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．