Question

15．在銳角△ABC中，AB=5，BC=6，∠ACB=45°（如圖），將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′（頂點(diǎn)A、C分別與A′、C′對應(yīng)），當(dāng)點(diǎn)C′在線段CA的延長線上時(shí)，則AC′的長度為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
• B． 3$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$
• C． 3$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
• D． 3-$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出CC′的長，進(jìn)而在△ABD中，AD²+BD²=AB²，求出CD的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AC的長，進(jìn)而得出答案．

解答 解：如圖：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A′C′B=∠ACB=45°，BC=BC′，
∴∠BC′C=∠ACB=45°，
∴∠CBC′=180°-∠BC′C-∠ACB=90°，
∵BC=6，
∴CC′=$\sqrt{2}$BC=6$\sqrt{2}$，
過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵∠ACB=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
設(shè)AD=x，則CD=x，
∴BD=BC-CD=6-x，
在△ABD中，AD²+BD²=AB²，
∴x²+（6-x）²=5²，
解得：x₁=$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$，x₂=$\frac{6-\sqrt{14}}{2}$（不合題意舍去），
∴AC=$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$×$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}+\sqrt{7}$，
∴AC′的長度為：6$\sqrt{2}-（3\sqrt{2}+\sqrt{7}）=3\sqrt{2}-\sqrt{7}$．
故選B．

點(diǎn)評 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已得出CC′和AC的長是解題關(guān)鍵．