Question

16．二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象如圖所示，在x軸上方，且平行于x軸的直線與該二次函數(shù)的圖象交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上取點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形，請(qǐng)你寫出所有符合的點(diǎn)Q的坐標(biāo)（1，0）或（2-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）．

Answer 1

分析 此題要分三種情況討論：
①點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)Q必為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，由此求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②以M為直角頂點(diǎn)時(shí)，可Q₂（x，0）（x＜1），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知MN正好等于拋物線對(duì)稱軸到M點(diǎn)距離的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，則QM=MN，由此可表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線的解析式，即可得到關(guān)于M點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；\
③以N為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知：Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱點(diǎn)也符合題意；

解答 解：存在，且Q的坐標(biāo)為（1，0）或（2-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）；
由二次函數(shù)y=-x²+2x+3可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），（3，0），
∴對(duì)稱軸為x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
①若Q是直角頂點(diǎn)，由M、N對(duì)稱性可直接得Q₁（1，0）；
②若M是直角頂點(diǎn)；
設(shè)Q₂（x，0）（x＜1），
∴MN=2Q₁Q₂=2（1-x），
∵△Q₂MN為等腰直角三角形；
∴y=2（1-x）即-x²+2x+3=2（1-x）；
∵x＜1，
∴Q₂（2-$\sqrt{5}$，0）；
③若N是直角頂點(diǎn)；
由對(duì)稱性可得Q₃（$\sqrt{5}$，0）；
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）或（2-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．