Question

3．已知：點A、C分別是∠B的兩條邊上的點，點D、E分別是直線BA、BC上的點，直線AE、CD相交于點P．
（1）點D、E分別在線段BA、BC上，若∠B=60°（如圖1），且AD=BE，BD=CE，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，點D、E分別在線段AB、BC的延長線上，若∠B=90°，AD=BC，∠APD=45°，求證：BD=CE．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，由條件可以得出△ABC為等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出結(jié)論；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，就有DF=DC，∠ADF=∠BCD，就可以得出△DCF為等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，就有CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四邊形AFCE是平行四邊形，就有AF=CE．

解答 （1）解：連結(jié)AC，
∵AD=BE，BD=CE，
∴AD+BD=BE+CE，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC．
在△CBD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠B=∠ACB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴∠BCD=∠CAE．
∵∠APD=∠CAE+∠ACD，
∴∠APD=∠BCD+∠ACD=60°．
故答案為60°；

（2）證明：作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°．
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠DBC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=CE，
∴CE=BD．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用．解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．