Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切于A，連接BC，BC交⊙O于點D，M是弧$\widehat{BD}$的中點，連接AM交BC于點E．
（1）求證：CA=CE；
（2）當E為BC中點時，求證：EM=$\frac{1}{2}$AE．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則∠B+∠BAD=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠1+∠BAD=90°，則∠1=∠B，由M是弧$\widehat{BD}$的中點得∠2=∠3，則利用三角形外角性質(zhì)易得∠CEA=∠3+∠B=∠2+∠1，即∠CEA=∠CAE，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到CA=CE；
（2）連結(jié)OM，OM交BC于F，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)圓周角定理，由M是弧$\widehat{BD}$的中點得到OM⊥BD，則AD∥OM，再由E為BC中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE=AE，則∠3=∠B，可計算出∠B=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OF=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，AD=$\frac{1}{2}$AB=r，則MF=OM-OF=$\frac{1}{2}$r，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，由MF∥AD得$\frac{EM}{AE}$=$\frac{MF}{AD}$=$\frac{1}{2}$，即有EM=$\frac{1}{2}$AE．

解答 證明：（1）連結(jié)AD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC與⊙O相切于A，
∴∠BAC=90°，即∠1+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵M是弧$\widehat{BD}$的中點，
∴∠2=∠3，
∵∠CEA=∠3+∠B，
∴∠CAE=∠2+∠1，即∠CEA=∠CAE，
∴CA=CE；
（2）連結(jié)OM，OM交BC于F，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵M是弧$\widehat{BD}$的中點，
∴OM⊥BD，
而∠ADB=90°，
∴AD∥OM，
∵E為BC中點，
∴CE=BE=AE，
∴∠3=∠B，
∴∠2=∠3=∠B，
∴∠B=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，AD=$\frac{1}{2}$AB=r，
∴MF=OM-OF=$\frac{1}{2}$r，
∵MF∥AD，
∴$\frac{EM}{AE}$=$\frac{MF}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}r}{r}$=$\frac{1}{2}$，
∴EM=$\frac{1}{2}$AE．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了圓周角定理和垂徑定理．