Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、點B，直線CD與x軸、y軸分別交于點C、點D，AB與CD相交于點E，線段OA，OC的長是一元二次方程x²-18x+72=0的兩根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=$\frac{3}{4}$．
（1）求點A、點C、點E的坐標(biāo)；
（2）求sin∠DCO的值；
（3）在x軸上是否存在一點P，使以點C、點E、點P為頂點的三角形與△DCO相似？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先解方程x²-18x+72=0求得方程的根，則A和C的坐標(biāo)即可求得，然后根據(jù)三角函數(shù)求得B的坐標(biāo)，作EF⊥x軸于點F，根據(jù)△AEF∽△ABO，利用相似三角形的性質(zhì)求得EF和OF的長，即可求得E的坐標(biāo)；
（2）求得直線CD的解析式，則D的坐標(biāo)即可求得，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)是（p，0），則PC=p+6．分成△COD∽△CEP和△COD∽△CPE兩種情況進(jìn)行討論即可求解．

解答 解：（1）x²-18x+72=0即（x-12）（x-6）=0，
則x-12=0，x-6=0，
解得：x=12或x=6，
又∵OA＞OC，
∴OA=12，OC=6，
∴A的坐標(biāo)是（12，0），C的坐標(biāo)是（-6，0）．
∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴OB=$\frac{4}{3}$OA=16，
則B的坐標(biāo)是（0，16）．AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20．
作EF⊥x軸于點F．
則△AEF∽△ABO，
∴$\frac{AF}{OA}=\frac{EF}{OB}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AF}{12}=\frac{EF}{16}$=$\frac{3}{4}$，
∴AF=9，EF=12，
則OF=12-9=3，
則E的坐標(biāo)是（3，12）；
（2）設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{3k+b=12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
則直線CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+8，
令x=0，則y=8，則D的坐標(biāo)是（0，8），OD=8．
則在直角△OCD中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
則sin∠DCO=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)是（p，0），則PC=p+6．
當(dāng)△COD∽△CEP時，$\frac{CD}{CP}=\frac{OC}{CE}$，即$\frac{10}{p+6}=\frac{6}{15}$，
解得：d=19，
則P的坐標(biāo)是（19，0）；
當(dāng)△COD∽△CPE時，$\frac{OC}{CP}=\frac{CD}{CE}$，則$\frac{6}{p+6}=\frac{10}{15}$，
解得：p=3，
則P的坐標(biāo)是（3，0）．
總之，P的坐標(biāo)是（19，0）和（3，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得E的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．