Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線l與x軸平行，且與拋物線交于點A、B，若△AMB為等腰直角三角形，我們就把拋物線上A、B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖象稱為該拋物線對應的“準蝶形”，線段AB的長稱為碟寬，頂點M稱為碟頂．
（1）填空：拋物線y=x²的碟寬為2，碟頂坐標為（0，0）；
（2）求拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）的碟寬（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）若拋物線y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$（a＞0）的碟寬為6，求該拋物線的碟頂坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義易算出含具體值的拋物線y=2x²的碟寬，利用端點（第一象限）橫縱坐標的相等．推廣至含字母的拋物線y=ax²（a＞0），類似．而拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）為頂點式，可看成y=ax²平移得到，則發(fā)現(xiàn)碟寬只和a有關．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得關于a的方程$\frac{2}{a}$=6，解方程即可求得a的值．代入拋物線中得出解析式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．
∵△OAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），C（0，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，OC=$\frac{1}{a}$，
即y=ax²的碟寬為$\frac{2}{a}$．
∵拋物線y=x²對應的a=1，得碟寬$\frac{2}{a}$為2；碟頂（0，0），
故答案為：2，（0，0）
（2）由（1）知拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$；
拋物線y=a（x-2）²+4（a＞0）可看成y=ax²向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到的圖形，
∵平移不改變形狀、大小、方向，
∴拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）與拋物線y=ax²的碟寬一樣，
∵拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$，
∴拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0），
碟寬為$\frac{2}{a}$．

（3）∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$=a（x-2）²-（4a+$\frac{5}{3}$），
∴同（1），其碟寬為$\frac{2}{a}$，
∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$的碟寬為6，
∴$\frac{2}{a}$=6，
解得a=$\frac{1}{3}$．
把a=$\frac{1}{3}$代入y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$，
∴頂點坐標為（2，-3），
即：碟頂為（2，-3）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題，題目中主要涉及特殊直角三角形，二次函數(shù)解析式與圖象性質(zhì)，解題的關鍵是由拋物線y=ax²（a＞0），得到碟寬只和a有關，即碟寬$\frac{2}{a}$．