Question

3．在直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A₁，按如圖方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₃C₂…，點(diǎn)A₁、A₂、A₃…在直線y=x+1上，點(diǎn)C₁、C₂、C₃…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S₁、S₂、S₃、…S_n，則S_n的值為（　�。�（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．

• A． n²
• B． 2^2n-3
• C． $\frac{{n}^{2}}{3}$
• D． $\frac{{n}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線解析式判斷出直線與坐標(biāo)軸相交構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA₁，即第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，同理依次求出第二個(gè)、第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)規(guī)律寫出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，如果根據(jù)陰影部分的面積等于相應(yīng)正方形的面積的一半列式計(jì)算即可得解．

解答 解：∵直線y=x+1的k=1，
∴直線與x軸的夾角為45°，
∴直線與坐標(biāo)軸相交構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
所以，OA₁=1，
即第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，
所以，第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1+1=2，
第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2+2=4=2²，
…，
第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2^n-1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{{2}^{2}}{2}$，
S₃=$\frac{1}{2}$×2²×2²=$\frac{{2}^{4}}{2}$，
…，
S_n=$\frac{1}{2}$×2^n-1×2^n-1=$\frac{{2}^{2n-2}}{2}$=2^2n-3．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，根據(jù)直線解析式判斷出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．