Question

19．如圖1，在?ABCD中，∠BCD的平分線交直線AD于點F，∠BAD的平分線交DC延長線于E．，交線段BC與H點．

（1）證明：四邊形AHCF是平行四邊形；
（2）證明：AF=EC；
（3）若∠BAD=90°，G為CF的中點（如圖2），判斷△BEG的形狀，并證明；
（4）在（3）的條件上，若已知AB=6，BC=7，試求△BEG的面積．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，∠BAD=∠BCD，BC∥AD，證出∠1=∠2，再證出∠2=∠3，得出AE∥CF，即可得出結(jié)論；
（2）由四邊形AHCF是平行四邊形，得出AF=CH，再證出CH=EC，即可得出AF=EC；
（3）連接AG，過G作GN∥BC交AB于N，先證四邊形ABCD是矩形，得出∠GNB=90°，BC∥GN∥AD，再證出NG是AB的垂直平分線，得出BG=AG，得出∠BGN=∠AGN，然后證明△AFG≌△ECG，得出AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC，再證出∠BGE=90°，即可得出結(jié)論；
（4）作GM⊥AD于M，則GM∥CD，由矩形的性質(zhì)得出∠D=∠BCD=90°，CD=AB，AD=BC，再證出△DCF、△MGF是等腰直角三角形，得出FD=CD=6，GM=FM，證明GM為△DCF的中位線，得出FM=GM═DM=$\frac{1}{2}$CD=3，求出AM，由勾股定理求出AG，得出BG、EG，即可求出△BEG的面積．

解答 （1）證明：如圖1所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠BCD，BC∥AD，
∴∠1=∠2，
∵CF平分∠BCD，AE平分∠BAD，
∴∠1=∠4=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AE∥CF，
∴四邊形AHCF是平行四邊形；
（2）證明：∵四邊形AHCF是平行四邊形，
∴AF=CH，
∵AE∥CF，
∴∠E=∠4，∠5=∠1，
∴∠E=∠5，
∴CH=EC，
∴AF=EC；
（3）解：△BEG是等腰直角三角形；理由如下：
連接AG，過G作GN∥BC交AB于N，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠CBN=90°，
∴∠GNB=90°，BC∥GN∥AD，
∵G為CF的中點，
∴N為AB中點，
即NG是AB的垂直平分線，
∴BG=AG，
∴∠BGN=∠AGN，
∵NG∥AD，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，∠DCF=45°，
∴∠DFC=45°，
∴∠ECG=∠AFC=90°+45°=135°，
在△AFG和△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{∠AFG=∠ECG}\\{FG=CG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△ECG（SAS），
∴AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC，
∵∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN=∠GEC，
∵∠GAF+∠AGF=180°-135°=45°，
∴∠EGC+∠BGF=2（∠GAF+∠AGF）=90°，
即∠BGE=90°，
∴△BEG是等腰直角三角形；
（4）作GM⊥AD于M，如圖2所示：
則GM∥CD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，CD=AB=6，AD=BC=7，
∴∠DCF=45°，
∴∠DFC=45°，
∴△DCF、△MGF是等腰直角三角形，
∴FD=CD=6，GM=FM，
∵G為CF的中點，
∴GM為△DCF的中位線，
∴FM=GM═DM=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴AM=7-3=4，
∴AG=$\sqrt{A{M}^{2}+G{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴BG=EG=5，
∴△BEG的面積=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{25}{2}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線、三角形中位線定理、勾股定理等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）（4）中，需要通過作輔助線證明三角形全等和等腰直角三角形才能得出結(jié)論．