Question

14．我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是由兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”．鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標系如圖1所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C₁，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂．
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如圖2，過點B作直線BE：y=$\frac{1}{3}$x-1交C₁于點E（-2，-$\frac{5}{3}$），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的坐標；
（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C₁或C₂上是否存在一點Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意確定A、B、C、D的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）首先證明∠OBC=∠EOB，因此可能存在兩種情形，設(shè)P（x，0），①當△PBC∽△OBE時，②當△PBC∽△EBO時，分別求解即可．
（3）要使△EBQ的面積最大，則點Q到直線BE的距離最大時，過點Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個交點．①如圖1中，當點Q在C₁上時，設(shè)與拋物線只有一個交點的直線為y=$\frac{1}{3}$x+b，則點Q（x，$\frac{1}{3}$x+b），代入y=$\frac{1}{3}$x²-3，得到$\frac{1}{3}$x²-3=$\frac{1}{3}$x+b，整理得x²-x-9-3b=0，由△=0，可得1-4（-9-3b）=0，推出b=-$\frac{37}{12}$，可得y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{37}{12}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{37}{12}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-3}\end{array}\right.$，求出Q的坐標即可解決問題．②如圖2中，當Q在C₂上時，同法可求．

解答 解：（1）由題意A（-3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，-3）
設(shè)拋物線記為C₂的解析式為y=ax²+c，
把B（3，0），C（0，-1）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{9a+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{9}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線記為C₂的解析式為y=-$\frac{1}{9}$x²+1，
同法可得拋物線記為C₁的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-3．

（2）∵y=$\frac{1}{3}$x-1交C₁于點E（-2，-$\frac{5}{3}$），
∴BE=$\sqrt{（-\frac{5}{3}）^{2}+（2+3）^{2}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{10}$，
設(shè)直線BE與y軸的交點為F，
由y=$\frac{1}{3}$x-1，可得F（0，-1），
∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC≌△BOF，
∴∠OBC=∠EOB，
因此可能存在兩種情形，設(shè)P（x，0），
①當△PBC∽△OBE時，$\frac{PB}{OB}$=$\frac{BC}{BE}$，即$\frac{3-x}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{\frac{5}{3}\sqrt{10}}$，解得x=$\frac{6}{5}$，
∴點P坐標為（$\frac{6}{5}$，0）．
②當△PBC∽△EBO時，$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BC}{BO}$，即$\frac{3-x}{\frac{5}{3}\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得x=-$\frac{23}{9}$，
∴點P坐標為（-$\frac{23}{9}$，0）．
③∵∠OBC≠∠AOE，
∴不存在點P在點B右側(cè)的情形，
綜上所述，滿足條件的點P坐標（$\frac{6}{5}$，0）或（-$\frac{23}{9}$，0）．

（3）要使△EBQ的面積最大，則點Q到直線BE的距離最大時，過點Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個交點．
①如圖1中，當點Q在C₁上時，
設(shè)與拋物線只有一個交點的直線為y=$\frac{1}{3}$x+b，則點Q（x，$\frac{1}{3}$x+b），代入y=$\frac{1}{3}$x²-3，得到$\frac{1}{3}$x²-3=$\frac{1}{3}$x+b，整理得x²-x-9-3b=0，
∵△=0，
∴1-4（-9-3b）=0，
∴b=-$\frac{37}{12}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{37}{12}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{37}{12}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{35}{12}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{1}{2}$，-$\frac{35}{12}$），
過Q作x軸的垂線交直線BE于M，
把x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{1}{3}$x-1，可得M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{6}$），
∴MQ=-$\frac{5}{6}$-（-$\frac{35}{12}$）=$\frac{25}{12}$，
∴△EBQ面積的最大值為$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{12}$×（2+3）=$\frac{125}{24}$．
②如圖2中，當Q在C₂上時，
設(shè)與拋物線只有一個交點的直線為y=$\frac{1}{3}$x+b′，則Q（x，$\frac{1}{3}$x+b′），代入y=-$\frac{1}{9}$x²+1，可得x²+3x-9+9b′=0，
∵△=0，
∴9-4（9b′-9）=0，
∴b′=$\frac{5}{4}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{4}$，與y=-$\frac{1}{9}$x²+1聯(lián)列方程組，解得Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），連接EQ，交x軸于N．
易知直線QE的解析式為y=$\frac{29}{6}$x+8，
∴N（-$\frac{48}{29}$，0），
∴BN=3-（-$\frac{48}{29}$）=$\frac{135}{29}$，
∴△QEB的面積最大值為$\frac{1}{2}$×$\frac{135}{29}$×[$\frac{3}{4}$-（-$\frac{5}{3}$）]=$\frac{135}{24}$=$\frac{45}{8}$，
∵$\frac{45}{8}$＞$\frac{125}{24}$，
∴△EBQ的面積的最大值為$\frac{45}{8}$，此時Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是需要用分類討論的思想思考問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．