Question

18．如圖，已知二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三點．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點G是線段AC上的動點（點G與線段AC的端點不重合），若△ABG與△ABC相似，求點G的坐標(biāo)；
（3）設(shè)圖象M的對稱軸為l，點D（m，n）（-1＜m＜2）是圖象M上一動點，當(dāng)△ACD的面積為$\frac{27}{8}$時，點D關(guān)于l的對稱點為E，能否在圖象M和l上分別找到點P、Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）可求得直線AC的解析式，設(shè)G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的長，由條件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)可求得k的值，從而可求得G點坐標(biāo)；
（3）可設(shè)出D點坐標(biāo)，從而表示出△ACD的面積，由條件求得D點坐標(biāo)，可求得DE的長，當(dāng)DE為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到PQ=DE=2，從而可求得P點坐標(biāo)；當(dāng)DE為對角線時，可知P點為拋物線的頂點，可求得P點坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過A（-1，0），B（4，0）兩點，
∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-4）．
∵二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過C（2，-6）點，
∴-6=a（2+1）（2-4），解得a=1．
∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）（x-4），即y=x²-3x-4．

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=sx+t，把A、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-s+t}\\{-6=2s+t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=-2}\\{t=-2}\end{array}\right.$，
∴線段AC的解析式為y=-2x-2，
設(shè)點G的坐標(biāo)為（k，-2k-2）．
∵G與C點不重合，
∴△ABG與△ABC相似只有△AGB∽△ABC一種情況．
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$．
∵AB=5，AC=$\sqrt{[2-（-1）]^{2}+（-6-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，AG=$\sqrt{（k+1）^{2}+（-2k-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$|k+1|，
∴$\frac{\sqrt{5}|k+1|}{5}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$，
∴|k+1|=$\frac{5}{3}$
∴k=$\frac{2}{3}$或k=-$\frac{8}{3}$（舍去），
∴點G的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，-$\frac{10}{3}$）．

（3）能．理由如下：
如圖，過D點作x軸的垂線交AC于點H，


∵D（m，n）（-1＜m＜2），
∴H（m，-2m-2）．
∵點D（m，n）在圖象M上，
∴D（m，m²-3m-4）．
∵△ACD的面積為$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$[-2m-2-（m²-3m-4）][（m+1）+（2-m）]=$\frac{27}{8}$，即4m²-4m+1=0，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{4}$）．
∵y=x²-3x-4=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
∴圖象M的對稱軸l為x=$\frac{3}{2}$．
∵點D關(guān)于l的對稱點為E，
∴E（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），
∴DE=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，有兩種情況：
當(dāng)DE為邊時，則有PQ∥DE且PQ=DE=2．
∴點P的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$或$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$，
∴點P的縱坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$=-$\frac{9}{4}$，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
當(dāng)DE為對角線時，則可知P點為拋物線的頂點，即P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）；
綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識點．在（1）中注意二次函數(shù)解析式三種形式的靈活運用，在（2）中確定出只有△AGB∽△ABC一種情況是解題的突破口，在（3）中求得D點的坐標(biāo)從而求得DE的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性質(zhì)較強(qiáng)，難度較大．