Question

12．如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于點O，點E是$\widehat{AB}$上的一動點（不與A、B重合），點F是$\widehat{BC}$上的一點，連接OE、OF，分別與AB、BC交于點G，H，且∠EOF=90°，有以下結論：
①$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
②△OGH是等腰三角形；
③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；
④△GBH周長的最小值為4+$\sqrt{2}$．
其中正確的是①②（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)ASA可證△BOE≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF，根據(jù)等弦對等弧得到$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$，可以判斷①；
②根據(jù)SAS可證△BOG≌△COH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠GOH=90°，OG=OH，根據(jù)等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判斷②；
③通過證明△HOM≌△GON，可得四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，可以判斷③；
④根據(jù)△BOG≌△COH可知BG=CH，則BG+BH=BC=4，設BG=x，則BH=4-x，根據(jù)勾股定理得到GH=$\sqrt{B{G}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$，可以求得其最小值，可以判斷④．

解答 解：①如圖所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE與△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOE=∠COF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$，①正確；
②∵BE=CF，
∴△BOG≌△COH；
∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，
∴∠GOH=90°，OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正確．
③如圖所示，

∵△HOM≌△GON，
∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，③錯誤；
④∵△BOG≌△COH，
∴BG=CH，
∴BG+BH=BC=4，
設BG=x，則BH=4-x，
則GH=$\sqrt{B{G}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$，
∴其最小值為4+2$\sqrt{2}$，D錯誤．
故答案為：①②．

點評 考查了圓的綜合題，關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等弦對等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面積的計算，綜合性較強，有一定的難度．