Question

8．已知，四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，當(dāng)AC=BC時(shí)
（1）如圖1，求證：DC平∠ADB；
（2）如圖，當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，求證：CD=AD+BD．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)在同圓或等圓中，弦相等則弧相等，則所對(duì)的圓周角相等，得結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先證明△DEC是等邊三角形，再證明△ADC≌△BEC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵AC=BC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠ADC=∠BDC，
∴DC平分∠ADB；
（2）如圖2，延長(zhǎng)DB至E，使DE=DC，連接CE，
∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ADB=120°，
∵DC平分∠ADB，
∴∠BDC=60°，
∴△DEC是等邊三角形，
∴DC=EC，∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠BCE=60°，
∵∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴DC=DE=BD+BE=BD+AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓內(nèi)接四邊形和三角形全等的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，還要熟練掌握全等三角形的判定方法，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；本題通過(guò)延長(zhǎng)DB構(gòu)建△EBC，得兩個(gè)全等三角形，將AD和BD轉(zhuǎn)化到一條線段上，利用等邊三角形得出結(jié)論．