Question

如圖，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G．
（1）求證：GE=GD；
（2）求∠BGC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AG，過點(diǎn)G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分線的性質(zhì)及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分線；在四邊形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，證明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得證GE=GM；
（2）利用角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出∠GBC+∠GCB，進(jìn)一步求得∠BGC．

解答：（1）證明：連接AG，過點(diǎn)G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．
∵∠A=60°，
∴∠ACB+∠ABC=120°，
∵CD，BE是角平分線，
∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，
∴∠CGB=∠EGD=120°，
∵G是∠ACB平分線上一點(diǎn)，
∴GN=GF，
同理，GF=GM，
∴GN=GM，
∴AG是∠CAB的平分線，
∴∠GAM=∠GAN=30°，
∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，
∴∠EGD=∠NGM=120°，
∴∠EGN=∠DGM，
又∵GN=GM，
在Rt△EGN≌Rt△DGM∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），
∴GE=GD；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G，
∴∠GBC+∠GCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=120°．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．