Question

8．如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，AE的延長線交BC的延長線于點G．若AF=13，DE=5，則CG的長是$\frac{84}{5}$．

Answer 1

分析 首先利用余角的性質(zhì)證明∠FAB=∠DAE，進(jìn)而利用ASA即可證明△ABF≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等的性質(zhì)可得AE=AF，BF=DE，然后在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進(jìn)而求出EC的長，再證明△ADE∽△GCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答 解：正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=90°
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
在△ABF與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠EBA=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF，BF=DE，
∵∠FBA=90°，AF=7，BF=DE=2，
∴AB=$\sqrt{1{3}^{2}{-5}^{2}}$=12，
∴EC=DC-DE=7，
∵∠D=∠ECG=90°，∠DEA=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{12}{CG}=\frac{5}{7}$，
∴CG=$\frac{84}{5}$．
故答案為：$\frac{84}{5}$．

點評 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確證明△ABF≌△ADE，從而得到AF=AE，BF=DE是解題的關(guān)鍵．