Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，b）（b＞0），點(diǎn)P是直線AB上位于第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC垂直于x軸于點(diǎn)C，記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．
（1）當(dāng)b=3時(shí)：①求直線AB相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)S_△QOA=4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）是否同時(shí)存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的a、b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①利用待定系數(shù)法求解即可，
②由①知點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，-

3

2

a+3），可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再利用S_△QOA=

1

2

×|OA|×|-

3

2

a+3|求出a的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）分兩種情況①當(dāng)∠QAC=90°且AQ=AC時(shí)，QA∥y軸，②，當(dāng)∠AQC=90°且QA=QC時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，分別求解即可．

解答：解：（1）①設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b（k≠0），
將A（2，0），B（0，3）代入得

2k+b=0 b=3

，解得

k=- 3 2 b=3

，
所以直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

2

x+3，
②由①知點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，-

3

2

a+3），
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-a，-

3

2

a+3），
∴S_△QOA=

1

2

×|OA|×|-

3

2

a+3|=

1

2

×2×|-

3

2

a+3|=|-

3

2

a+3|=-

3

2

a+3=4．
解得a=-

2

3

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

2

3

，4），
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，n），（a＜0，n＞0），
則點(diǎn)C，Q的坐標(biāo)分別為C（a，0），Q（-a，n），
①如圖1，當(dāng)∠QAC=90°且AQ=AC時(shí)，QA∥y軸，

∴-a=2，
∴a=-2，
∴AC=4，從而AQ=AC=4，即|n|=4，由n＞0得n=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，4）．
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=cx+b（c≠0），
將P（-2，4），A（2，0）代入得

-2c+b=4 2c+b=0

，解得

c=-1 b=2

，
∴a=-2，b=2．
②如圖2，當(dāng)∠AQC=90°且QA=QC時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，

∴QH=CH=AH=

1

2

AC，
由Q（-a，n）知H（-a，0）．
Q的橫坐標(biāo)-a=

a+2

2

，解得a=-

2

3

，
Q的縱坐標(biāo)QH=

2-a

2

=

4

3

∴Q（

2

3

，

4

3

），
∴P（-

2

3

，

4

3

），
由P（-

2

3

，

4

3

），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），可得直線AP的解析式為y=-

1

2

x+1，
∴b=1，
∴a=-

2

3

，b=1，
綜上所述當(dāng)△QAC是等腰直角三角形時(shí)，a=-2，b=2或a=-

2

3

，b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，涉及一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，分類討論．