Question

19．如圖在△ABC中，AD⊥BC于D點(diǎn)，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E，H分別在A(yíng)B，AC上，BC=40cm，AD=30cm
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EH∥BC即可證明．
（2）如圖設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M，首先證明四邊形EFDM是矩形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，再利用△AEH∽△ABC，得$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AO}{AD}$，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：
∵∠EFD=∠FEO=∠FDO=90°，
∴四邊形EFDO是矩形，
∴EF=DO，設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AO}{AD}$，
∴$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，
∴x=$\frac{120}{7}$，
∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為$\frac{120}{7}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比對(duì)于高的比，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．