Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題: 如圖1，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，連接所、、．

求證：是等邊三角形．

小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，連接、(如圖2)，從而可證， ，使問(wèn)題得到解決．

（1）請(qǐng)你按照小明的探究思路，完成他的證明過(guò)程；

參考小明思考問(wèn)題的方法或用其他的方法，解決下面的問(wèn)題：

（2）如圖3，在四邊形中， ， ， 對(duì)角線、相交于點(diǎn)，且()，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，連接、、．

①否存在與相等的線段?若存在，請(qǐng)找出并證明；若不存在，說(shuō)明理由．

②求的度數(shù)．(用含的式子表示)

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，證明見(jiàn)解析；②．

【解析】

（1）如圖，連接、，由已知條件可證明是等邊三角形，進(jìn)而證明是直角三角形，根據(jù)為AD的中點(diǎn)，證明，再由三角形中位線定理，即可證明結(jié)論；

（2）①如圖，，類比（1）即可證明結(jié)論；

②如圖，.根據(jù)①結(jié)論得到，再得到，進(jìn)而證明，，最后求出，問(wèn)題得解．

（1）證明：如圖，連接、，

∵四邊形為炬形，

∴，.

∵，

∴是等邊三角形.

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴.

∴是直角三角形.

∵是的中點(diǎn)，

∴.

∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，

∴.

∴，

∴是等邊三角形.

（2）①.

證明:如圖，連接、，

∵， ，

∴是等腰三角形

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴.

∴是直角三角形、

∵是的中點(diǎn)，

∴.

同理可得.

∴.

②解:∵，，

∴，

.

∵，

∴同理可得.

∴.

由①可知，， ，

∴，

.

∴.

.

∴

.

∴

.