Question

16．已知：在四邊形ABCD中，∠BAC+∠BDC=180°，∠ABC=∠BAC=60°，如圖1，連結(jié)BC、AD．
（1）求證：∠ADB=∠ADC．
（2）如圖2，過B作BH⊥AD于H，延長BH交AC于E，連結(jié)CH并延長交B于F，若AE=BF，BD=4，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）首先利用∠ACB+∠ADB=180°，得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出弦AC、BC所對的圓周角相等，即∠ADC=∠BDC得出答案即可；
（2）根據(jù)∠ADB=∠ADC，于是得到∠BDC=180°-∠BAC=120°，求得∠BDH=60°，根據(jù)已知條件得到∠DBH=30°，由直角三角形的性質(zhì)得到DH=$\frac{1}{2}$BD=2，推出△FBC≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BCF=∠ABE．由于∠BHF=∠BCF+∠CBH=∠ABE+∠CBH=60°，于是得到∠CHD=30°=∠DBH推出∠DCH=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=$\frac{1}{2}$DH=1，延長CD到G，使DG=DB=4，連接BG．于是得到△BDG為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BG=BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠GBD=∠CBA=60°，證得△GBC≌△DBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ABC=∠BAC=60°，
∴AC=BC，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∵AC=BC，
∴弦AC、BC所對的圓周角相等，
∴∠ADC=∠ADB；

（2）解：∵∠ADC=∠ADB；
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°，
∴∠BDH=60°，
∵BH⊥AD，
∴∠DBH=30°，DH=$\frac{1}{2}$BD=2，
在△FBC與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠FBC=∠BAE}\\{BF=AE}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△ABE，
∴∠BCF=∠ABE，
∵∠BHF=∠BCF+∠CBH=∠ABE+∠CBH=60°，
∴∠CHD=30°=∠DBH，
∵∠CDH=∠BDH=60°，
∴∠DCH=90°，CD=$\frac{1}{2}$DH=1，
延長CD到G，使DG=DB=4，連接BG．
則△BDG為等邊三角形，∴BG=BD；∠GBD=∠CBA=60°，
∴∠GBC=∠DBA，
在△GBC與△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBC=∠DBA}\\{∠G=∠ADB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△GBC≌△DBA，
∴AD=CG=BD+DC=4+1=5．

點(diǎn)評 此題主要考查了四點(diǎn)共圓以及圓周角定理，利用已知得出弦AC、BC所對的圓周角相等是解題關(guān)鍵