Question

14．如圖，四邊形ABCD是箏形，且AB=8，BC=4，∠ABC=90°，過D作DE⊥AB交AC于點F，連接BF．求證：DF=CD，并判斷四邊形BCDF的形狀．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是箏形，得出AB=AD，BC=CD，由SSS證明△ABC≌△ADC，得出∠ADC=∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC，由角的互余關系和對頂角相等得出∠DCF=∠DFC，即可得出DF=CD；證出DF∥BC，DF=BC得出四邊形BCDF是平行四邊形，即可得出結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是箏形，
∴AB=AD，BC=CD，
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ADC=∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC，
∴∠DCF+∠DAC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，∠AFE+∠BAC=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=CD；
四邊形BCDF是菱形；理由如下：
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴DF∥BC，
∵DF=CD，BC=CD，
∴DF=BC，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
又∵DF=CD，
∴四邊形BCDF是菱形．

點評 本題考查了箏形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定；本題綜合性強，有一定難度．