Question

如圖，點E、F、G、H分別在菱形ABCD的四條邊上，且BE=BF=DG=DH，連接EF，FG，GH，HE得到四邊形EFGH．

（1）求證：四邊形EFGH是矩形；

（2）設AB=a，∠A=60°，當BE為何值時，矩形EFGH的面積最大？

Answer 1

【考點】菱形的性質；二次函數的最值；矩形的判定與性質．

【分析】（1）利用等腰三角形的性質：等邊對等角，以及平行線的性質可以證得∠DGH+∠CGH=90°，則∠HGF=90°，根據三個角是直角的四邊形是矩形，即可證得；

（2）設BE的長是x，則利用x表示出矩形EFGH的面積，根據函數的性質即可求解．

【解答】（1）證明：∵DG=DH，

∴∠DHG=∠DGH=，

同理，∠CGF=，

∴∠DGH+∠CGF=，

又∵菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠D+∠C=180°，

∴∠DGH+∠CGF=90°，

∴∠HGF=90°，

同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，

∴四邊形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，則菱形ABCD的面積是： a²，

設BE=x，則AE=a﹣x，

則△AEH的面積是：，

△BEF的面積是：，

則矩形EFGH的面積y=a²﹣﹣，

即y=﹣x²+ax，

則當x==時，函數有最大值．

此時BE=．

【點評】本題考查了菱形的性質，矩形的判定以及二次函數的性質，正確利用x表示出矩形EFGH的面積是關鍵．