Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，sinB=

4

5

，D為邊AC中點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），直線PD交BC延長(zhǎng)線與E，設(shè)線段BP長(zhǎng)為x，線段CE長(zhǎng)為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；
（2）過(guò)點(diǎn)D作BC平行線交AB與點(diǎn)F，在DF延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)Q，使得QF=DF，聯(lián)結(jié)PQ、QE、QE交邊AC于G點(diǎn)
①當(dāng)△EDQ與△EGD相似時(shí)，求x的值；
②求證：

PD

PQ

=

DE

QE

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）在直角三角形ACB中，由AC與sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，過(guò)P作PH垂直于BC，交BC于點(diǎn)E，在直角三角形PHB中，利用銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)PB=x，表示出PH于BH，再由CD與HP平行，利用平行得比例，即可列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，求出x的范圍即可；
（2）①連接QB，喲DQ=BC=6，且DQ與BC平行，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形BCDQ為平行四邊形，確定出QB的長(zhǎng)，當(dāng)△EDQ與△EGD相似時(shí)，得到∠EDC=∠DQE，由QD與CE平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換得到∠EDC=∠QEB，再由一對(duì)直角相等，得到三角形DCE與三角形QBE相似，由相似得比例，列出關(guān)系式，求出y的值，代入（1）得出的解析式中計(jì)算即可求出x的值；
②延長(zhǎng)PQ，交EB延長(zhǎng)線于M，由DQ與BM平行，根據(jù)平行得比例，列出關(guān)系式，將QF=DF代入得到MB=BE，由①得到QB垂直于ME，得到QE=QM，由QD與ME平行，得到比例式，將QE=QM代入，變形后即可得證．

解答：解：（1）∵在Rt△ACB中，AC=8，sinB=

AC

AB

=

4

5

，
∴AB=10，BC=6，
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BE，垂直為H，
在Rt△PHB中，PH=

4

5

x，BH=

3

5

x，
∵CD∥HP，
∴

CE

EH

=

CD

PH

，即

y

y+6- 3 5 x

=

4

4 5 x

，
解得：y=

30-3x

x-5

（5＜x＜10）；
（2）①連接QB，
∵DQ=BC=6，DQ∥BC，
∴四邊形QBCD是平行四邊形，
∴BQ=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBQ=90°，
當(dāng)△EDQ與△EGD相似時(shí)，
∵∠EDG＜∠EDQ，
∴∠EDC=∠DQE，
∵DQ∥CE，
∴∠DQE=∠QEB，
∴∠EDC=∠QEB，
∵∠EBQ=∠DCE=90°，
∴△EBQ∽△DCE，
∴

CE

BQ

=

CD

BE

，即

y

4

=

4

6+y

，
解得：y₁=-8（舍去），y₂=2，
代入y=

30-3x

x-5

得：x=8；
②延長(zhǎng)PQ，交EB延長(zhǎng)線于M，
∵DQ∥ME，
∴

QF

MB

=

PF

PB

=

FD

BE

，
∵QF=FD，
∴MB=BE，
由①得QB⊥ME，
∴QE=QM，
∵DQ∥ME，
∴

PD

DE

=

PQ

QM

=

PQ

QE

，
則

PD

PQ

=

DE

QE

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．