Question

9．已知點O是△ABC的外心，∠A=α，求∠BOC的大�。�

Answer 1

分析 這是一道推理說明：同弧所對的圓心角是圓周角的二倍；根據(jù)點O的位置分三種情況進行討論：①當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時，如圖1，②當(dāng)圓心O在∠BAC的邊上時，如圖2，③當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時，如圖3，利用外角定理和半徑相等得出結(jié)論．

解答 解：分三種情況討論：
①當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時，如圖1，
過A、O作射線AD，
∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，
∠COD=∠ACO+∠CAO，
∵OA=OB=OC，
∴∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，
∴∠BOC=∠BOD+∠DOC=2∠BAO+2∠CAO，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=α，
∴∠BOC=2α；
②當(dāng)圓心O在∠BAC的邊上時，如圖2，
連接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵∠BOC=∠B+∠A，
∴∠BOC=2∠A=2α；
③當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時，如圖3，
過點A作直徑AD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOD=∠B+∠OAB，
∠COD=∠C+∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD-∠COD=2∠OAB-2∠OAC=2∠BAC=2α．
綜上所述：∠BOC=2α．

點評 在三角形的外接圓中，明確所有的半徑都相等，找出圓心角和圓周角，能利用三角形證明角的大小關(guān)系的性質(zhì)（①等邊對等角，②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；）得出：①在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、圓周角中有一組量相等，則其他各組量都分別相等；②在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的二倍．