Question

11．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)AB與x、y軸分別交于A(yíng)（-8，0），B（0，6）．
（1）求出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）如圖②，在第四象限存在一點(diǎn)C，使得CB⊥AB，且CB=AB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖③，在（1）（2）的條件下，連接AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)EF，交AC于E，交直線(xiàn)AB于F，連接AD．若點(diǎn)P為射線(xiàn)AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PF，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF²-PC²的值是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)求出其范圍；若不變，請(qǐng)求其值．

Answer 1

分析 （1）由A與B坐標(biāo)確定出OA與OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可；
（2）如圖2所示，過(guò)C作CD垂直于y軸，設(shè)出C坐標(biāo)，利用AAS得到三角形AOB與三角形BDC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到兩對(duì)邊相等，求出m與n的值，即可確定出C坐標(biāo)；
（3）如圖3所示，連接CF交AP于點(diǎn)H，利用SAS得到三角形ABD與三角形CBF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠BAD=∠BCF，再由對(duì)頂角相等得到∠CHD=∠ABD=90°，即CH垂直于A(yíng)P，利用勾股定理得到PF²-PC²=（FH²+PH²）-（CH²+PH²）=PH²-CH²，再由FH²-CH²=（DF²-DH²）-（DC²-DH²）=DF²-DC²，求出BD與DC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到DF的長(zhǎng)，確定出PF²-PC²的值不變，為25．

解答 解：（1）∵A（-8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10；
（2）如圖2所示，過(guò)C作CD⊥y軸交于點(diǎn)D，
依題意設(shè)C（m，n）（m＞0，n＜0），
∵AB=BC，且AB⊥BC，
∴∠BAO+∠ABO=∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠DBC，
在△AOB和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC=90°}\\{∠BAO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD=OA，DC=OB，即6-n=8，m=6，
∴n=-2，
則C坐標(biāo)為（6，-2）；
（3）如圖3所示，連接CF交AP于點(diǎn)H，
依題意得：△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，∴△AEF為等腰直角三角形，
∴∠BFD=45°，
∴△BDF為等腰直角三角形，
∴BF=BD，
在△ABD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBF=90°}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD=∠BCF，
∵∠ABD=∠PDC，
∴∠DHC=∠ABC=90°，即CF⊥AP，
∴PF²-PC²=（FH²+PH²）-（CH²+PH²）=PH²-CH²，
∵FH²-CH²=（DF²-DH²）-（DC²-DH²）=DF²-DC²，
∵AB=BC=10，D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=DC=5，
∵△BDF為等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$BD=5$\sqrt{2}$，
∴PF²-PC²=DF²-DC²=25，
則PF²-PC²為定值25．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．