Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，DA、CB是⊙O的切線，CD切⊙O于E．
（1）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R；
（2）若OD=6．OC=8，求⊙O的半徑R．

Answer 1

分析 （1）由切線長(zhǎng)定理可知AD=DE，從而可證明△ADO≌△EDO，于是得到∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOE，同理：∠EOC=$\frac{1}{2}$∠EOB，∠DOE+∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠EOB）=90°，然后證明△OAD∽△BOC，從而可求得R=6；
（2）由勾股定理先求得DC=10，然后利用面積法可求得OE=4.8，即R=4.8．

解答 解：如圖1所示；連接OE．

∵DA、DE是圓O的切線，
∴AD=ED．
在△ADO和△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{OA=OE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△EDO．
∴∠AOD=∠EOD．
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOE．
同理：∠EOC=$\frac{1}{2}$∠EOB．
∴∠DOE+∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠EOB）=90°．
∴∠AOD+∠BOC=90°．
∵AD、BC是圓O的切線，AB是圓O的直徑，
∴∠DAO=∠OBC=90°．
∴∠ADO+∠AOD=90°．
∴∠ADO=∠BOC．
∴△OAD∽△BOC．
∴$\frac{AD}{OA}=\frac{OB}{BC}$．
∴$\frac{4}{R}=\frac{R}{9}$．
解得：R=6．
（2）如圖1所示：由（1）可知△DOC為直角三角形．
在Rt△DOC中，由勾股定理得：DC=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10．
∵$\frac{1}{2}DC•OE=\frac{1}{2}DO•OC$，
∴$\frac{1}{2}×10×OE=\frac{1}{2}×6×8$．
解得：OE=4.8．
∴R=4.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得∠DOC=90°，從而得到△OAD∽△BOC是解題的關(guān)鍵．