Question

如圖所示，要矩形紙片OABC放入直角坐標系xoy中，使OA、OC分別落在x、y軸的正半軸上，連接AC，且AC=

80

，

OC

OA

=

1

2

，
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）求AC所在直線的解析式；
（3）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積．
（4）求EF所在的直線的函數(shù)解析式；
（5）若過一定點P的任意一條直線h總能把矩形OABC的面積平均分成兩部分，求定點P的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)OC=a，則OA=2a，在直角△AOC中，利用勾股定理即可求得a的值，則A和C的坐標即可求得；
（2）根據(jù)（1），然后利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；
（3）重疊部分是四邊形AEFC，利用勾股定理求得AE的長，然后利用平行四邊形的面積公式即可求解；
（4）根據(jù)（3）即可求得E的坐標，直線EF必過AC的中點，利用待定系數(shù)法即可求解；
（5）直線h總能把矩形OABC的面積平均分成兩部分，則P一定是對稱中心，即AC的中點，據(jù)此即可直接求得．

解答：解：（1）∵

OC

OA

=

1

2

，
∴設(shè)OC=a，則OA=2a，
又∵AC=

80

，即a²+（2a）²=80，
解得：a=4，
則A的坐標是（8，0），C的坐標是（0，4）；
（2）設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

b=4 8k+b=0

，
解得：

b=4 k=- 1 2

，
則直線AC的解析式是：y=-

1

2

x+4；
（3）設(shè)AE=x，則OE=8-x，
在直角△OCE中，4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
則重疊部分的面積是：5×4=20；
（4）AC的中點的坐標是（4，2），
設(shè)直線EF的解析式是y=mx+n，
則

3m+n=0 4m+n=2

，
解得：

m=2 n=-6

，
則直線EF的解析式是y=2x-6；
（5）P是AC的中點，則坐標是（4，2）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正確理解矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，是關(guān)鍵．