Question

4．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點M．猜想線段AE與線段DF的關(guān)系并證明你的猜想．

Answer 1

分析 根據(jù)DE=CF，可得出OE=OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出AE=DF，由△AOE≌△DOF得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME=90°，得出結(jié)論．

解答 解：線段AE與線段DF的關(guān)系是相等且垂直，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CO=DO，
又∵DE=CF，
∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，
在△AOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DO}\\{∠AOD=∠DOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴AE=DF，
∵△AOE≌△DOF，
∴∠OAE=∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°，
即AE⊥DF．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過全等的證明和利用等角代換解題．