Question

11．如圖，拋物線y=-（x-h）（x-h+2）（h為常數(shù)）交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），交y軸于點C，頂點為M，
（1）當h=1時，求AB的長；
（2）當h=2時，拋物線上有兩點（x₁，y₁）（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥1，比較y₁與y₂的大小；
（3）設點C的縱坐標為y_c，求y_c的最大值；
（4）若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）經(jīng)過拋物線的頂點M，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當h=1時，拋物線為y=-（x-1）（x+1），解方程即可得到結論；
（2）當h=1時，拋物線為y=-x（x-2），根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到結論；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標公式即可得到結果；
（4）把拋物線y=-（x-h）（x-h+2）的定點坐標M（h-1，1），代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）即可得到結論．

解答 解：（1）當h=1時，拋物線為y=-（x-1）（x+1），
令y=0，即-（x-1）（x+1）=0，
解得：x₁=-1，x₂=1，
∴A（-1，0），B（1，0），
∴AB的長為2；
（2）當h=1時，拋物線為y=-x（x-2），
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，a=-1＜0，
∴拋物線的開口向下，
∴當x≥1時，y隨想的增大而減小，
∴當x₁＞x₂≥1時，y₁＜y₂；
（3）當x=0時，y=-h²+2h，
∴y_c的最大值=$\frac{-{2}^{2}}{4×（-1）}$=1；
（4）拋物線y=-（x-h）（x-h+2）的頂點坐標為：M（h-1，1），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）經(jīng)過拋物線的頂點M，
∴k=h-1，
∴0＜h-1≤2，
∴1＜h≤3，
即h的取值范圍為1＜h≤3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，正確的理解題意是解題的關鍵．