Question

7．如圖：拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，試判斷△OEF的形狀，請說明理由．并直接寫出△OEF的面積取最小值及此時(shí)的點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可以求出∠BAC=90°，從而得到△ABC就是直角三角形，所以點(diǎn)C即為所求的一個(gè)點(diǎn)P的，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出過點(diǎn)B的直線PB，與拋物線聯(lián)立求解即可得到另一個(gè)點(diǎn)P；
（3）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得∠OAE=∠OAF=45°，再根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠OEF=∠OFE=45°，∠EOF=90°然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OF，然后利用直線AC的解析式設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用勾股定理表示出OE的平方，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到面積的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答 解：（1））∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{16a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；
令x=0，則y=3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）假設(shè)存在，分兩種情況：如圖1，①過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
點(diǎn)C（0，3）符合條件，
所以，P₁（0，3）；
②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，過點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
設(shè)直線BP的解析式為y=-x+b，
則-4+b=1，
解得b=5，
∴直線BP：y=-x+5，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
又∵點(diǎn)B（4，1），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，6），
綜上所述，存在點(diǎn)P₁（0，3），P₂（-1，6）；

（3）如圖2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，
又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，即△OEF是直角三角形；
∵點(diǎn)E在直線AC上：y=-x+3，
∴設(shè)點(diǎn)E（x，-x+3），
根據(jù)勾股定理，OE²=x²+（-x+3）²，
=2x²-6x+9，
所以，S_△OEF=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$OE²=x²-3x+$\frac{9}{2}$=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
所以，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△OEF取最小值$\frac{9}{4}$，
此時(shí)-x+3=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合，主要利用了拋物線與x軸的交點(diǎn)間的距離的表示，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的判定，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，（3）題，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出45°角，從而得到直角或相等的角是解題的關(guān)鍵，題目構(gòu)思靈活，數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)巧妙．