Question

12．已知O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，AF是中線，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求證：O、G、H三點(diǎn)共線，且GH=2OG．

Answer 1

分析 作△ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交外接圓于點(diǎn)M．連結(jié)AM、CM、AH、CH、OH、OF．中線AF交OH于點(diǎn)G′，首先證得四邊形AMCH是平行四邊形，從而得到△OFG′∽△HAG′，利用相似三角形的性質(zhì)得到G′是△ABC的重心 （重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離比為2：1），從而證得結(jié)論．

解答 證明：作△ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交外接圓于點(diǎn)M．連結(jié)AM、CM、AH、CH、OH、OF．中線AF交OH于點(diǎn)G′，
∵BM是直徑，
∴∠BAM=∠BCM=90°，
∴AM⊥AB，MC⊥BC，
∵CH⊥AB，AH⊥BC，
∴MA‖CH，MC‖AH，
∴四邊形AMCH是平行四邊形，
∴AH=MC，
∵F是BC的中點(diǎn)，O是BM的中點(diǎn)，
∴OF=$\frac{1}{2}$MC，
∴OF=$\frac{1}{2}$AH，
∵OF‖AH，
∴△OFG’∽△HAG′，
∴AG′：FG′=AH：FO=2：1=G′H：OG′，
∴G′是△ABC的重心 （重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離比為2：1），
∴G與G′重合，
∴O、G、H三點(diǎn)在同一條直線上，且GH=2OG．條直線上，且GH=2OG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的五心，解題的關(guān)鍵是了解重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離比為2：1，難度較大．