Question

3．閱讀：
①1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）；  ②1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）；  ③1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=（1+$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}$）…
（1）觀察上面結(jié)果相等各式之間的關(guān)系，可歸納得出1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）
（2）利用上述規(guī)律計算：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)①②③式的規(guī)律可得1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）；
（2）根據(jù)規(guī)律可知（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）=（1-$\frac{1}{2}$）（1$+\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）（1$+\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1$+\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{20}$）（1+$\frac{1}{20}$），先計算括號內(nèi)的，再約分可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）；  
1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）； 
 1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=（1+$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}$）
…
∴1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）；
故答案為：（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）；

（2）（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）
=（1-$\frac{1}{2}$）（1$+\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）（1$+\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1$+\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{20}$）（1+$\frac{1}{20}$）
=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{19}{20}×\frac{21}{20}$
=$\frac{1}{2}×$$\frac{21}{20}$
=$\frac{21}{40}$．

點評 本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．