Question

20．二次函數(shù)y=-x²+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），B（1，0），$y=-\frac{1}{2}x+b$經(jīng)過點(diǎn)B，且與二次函數(shù)y=-x²+mx+n交于點(diǎn)D．過點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在BD上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)M，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得b，得到直線的解析式，設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），則N（m，-m²-2m+3），則MN=-m²-2m+3-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-m²-$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=-（m+$\frac{3}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，從而求得最大值．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），B（1，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=-1-m+n}\\{0=-1+m+n}\end{array}\right.$
解得m=-2，n=3
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²-2x+3；
（2）$y=-\frac{1}{2}x+b$經(jīng)過點(diǎn)B，
∴-$\frac{1}{2}$×1+b=0，
∴解得b=$\frac{1}{2}$
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$
設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），則N（m，-m²-2m+3），
∴MN=-m²-2m+3-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-m²-$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=-（m+$\frac{3}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，
∴MN的最大值為$\frac{49}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的最值，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)表示出M、N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．