Question

16．如圖，在⊙O中，直徑AB平分弦CD、AB與CD相交于點(diǎn)E，連接AC、BC，點(diǎn)F是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠FCA=∠B．
（1）求證：CF是⊙O的切線．
（2）若AC=4，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接CO，由AB為圓O的直徑，利用圓周角定理得到∠BCA為直角，再由OB=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠OCF為直角，即可得證；
（2）由直徑AB平分CD，得到AB與CD垂直，再由一對(duì)公共角，得到三角形ACE與三角形CAB相似，由相似得比例，求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即可確定出圓的半徑．

解答 （1）證明：連接CO，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，即∠OCF=90°，
則CF為圓O的切線；
（2）解：∵直徑AB平分弦CD，
∴AB⊥CD，
∵∠EAC=∠CAB，
∴△ACE∽△ABC，
∵AC=4，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=8，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
則圓O的半徑為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．