Question

20．已知：在等邊△ABC中，點D為BC邊的中點，點F在AB上，連結(jié)DF并延長到點E，使∠BAE=∠BDF，點M在線段DF上，且∠ABE=∠DBM．
（1）如圖，線段AE、MD之間的數(shù)量關系為AE=2MD；請證明你的結(jié)論．
（2）在（1）的條件下，延長BM到P，使MP=BM，連接CP，若AB=7，AE=2$\sqrt{7}$，求tan∠BCP的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得MD=$\frac{1}{2}$AE，繼而可得AE=2MD；
（2）由于△ABE∽△DBM，相似比為2，故有EB=2BM，由題意知得△BEP為等邊三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D為BC中點，M為BP中點，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值．

解答 解：（1）如圖1，線段AE、MD之間的數(shù)量關系為 AE=2MD；
理由：連接AD，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴$\frac{DM}{AE}=\frac{DB}{AB}$=cos∠ABC=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴MD=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=2MD；

（2）如圖2，連接AD，EP，過N作NH⊥AC，垂足為H，連接NH，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
又∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{DB}$=2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM，
又∵BM=MP，
∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°，
∴△BEP為等邊三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2$\sqrt{7}$，AB=7，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵D為BC中點，M為BP中點，
∴DM∥PC，
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB，
∴tan∠PCB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，通過作輔助線使線段與線段的關系得到明確．本題的計算量大，難度適中．