Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）請直接寫出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），在x軸上找一點(diǎn)E，使得△CDE的周長最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），F(xiàn)為直線AC上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令拋物線解析式中y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長最小，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可找出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A、F點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)y=-x²-2x+3中y=0時(shí)，有-x²-2x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
∵A在B的左側(cè)，
∴A（-3，0），B（1，0）．
當(dāng)y=-x²-2x+3中x=0時(shí)，則y=3，
∴C（0，3）．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴頂點(diǎn)D（-1，4）．
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長最小，如圖1所示．
∵C（0，3），
∴C′（0，-3）．
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-7}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線C′D的解析式為y=-7x-3，
當(dāng)y=-7x-3中y=0時(shí)，x=-$\frac{3}{7}$，
∴當(dāng)△CDE的周長最小，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{7}$，0）．
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-3a+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+3．
假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m，m+3），
△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：
①當(dāng)∠PAF=90°時(shí)，P（m，-m-3），
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴-m-3=-m²-2m+3，
解得：m₁=-3（舍去），m₂=2，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）；
②當(dāng)∠AFP=90°時(shí)，P（2m+3，0）
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴0=-（2m+3）²-2×（2m+3）+3，
解得：m₃=-3（舍去），m₄=-1，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；
③當(dāng)∠APF=90°時(shí)，P（m，0），
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴0=-m²-2m+3，
解得：m₅=-3（舍去），m₆=1，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．
綜上可知：在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）或（1，0）．

點(diǎn)評 本題考查了解一元二次方程、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）找出點(diǎn)E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．