Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，得到的△DOC與△EOA相似．

（1）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△DOC與△EOA的相似比為2？
（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△DOC與△EOA全等？
（3）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)E與B重合？此時(shí)△DOC與△EOA的相似比是多少？此時(shí)O點(diǎn)繼續(xù)往C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，DO的延長(zhǎng)線(xiàn)于BC交于F，且有△DFC∽△EFB，當(dāng)點(diǎn)F是BC中點(diǎn)時(shí)，求△DOC與△EOA的相似比．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)若△DOC與△EOA的相似比為2，則

CO

AO

=2，即可得出當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

CO

AO

=2處時(shí)，△DOC與△EOA的相似比為2，
（2）若△DOC與△EOA全等，則AO=CO，根據(jù)∠CDO=∠AEO，∠DCO=∠EAO，證出△DOC≌△EOA，即可得出當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處時(shí)，△DOC與△EOA全等；
（3）當(dāng)E與B重合時(shí)，△DOC與△EOA全等，AO=CO，當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處時(shí)，E與B重合，此時(shí)△DOC與△EOA的相似比是1，當(dāng)點(diǎn)F是BC中點(diǎn)時(shí)，則BF=CF，再根據(jù)∠CDF=∠BEF，∠DCF=∠EBF，證出△DOC≌△EOA從而得出AB=DC=BE，最后求出

DC

AE

=

1

2

，即可得出△DOC與△EOA的相似比．

解答：解：（1）∵若△DOC與△EOA的相似比為2，則

CO

AO

=2，
∴當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

CO

AO

=2處時(shí)，△DOC與△EOA的相似比為2；
（2）若△DOC與△EOA全等，則AO=CO，
∵AB∥CD，
∴∠CDO=∠AEO，∠DCO=∠EAO，
在△DOC與△EOA中，

∠CDO=∠AEO ∠DCO=∠EAO AO=CO

∴△DOC≌△EOA，
∴當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處時(shí)，△DOC與△EOA全等；
（3）∵當(dāng)E與B重合時(shí)，△DOC與△EOA全等，
∴AO=CO，
∴當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處時(shí)，E與B重合，
此時(shí)△DOC與△EOA的相似比是1，
當(dāng)點(diǎn)F是BC中點(diǎn)時(shí)，則BF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠BEF，∠DCF=∠EBF，
在△DOC和△EOA中

∠CDF=∠BEF ∠DCF=∠EBF BF=CF

，
∴△DOC≌△EOA，
∴DC=BE，
∴AB=DC=BE，
∴

DC

AE

=

1

2

，
∴△DOC與△EOA的相似比=

DC

AE

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比．