Question

3．已知：在△ABC中，∠CAB=2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如圖1，若α=21°，∠ABC=32°，且AP交BC于點(diǎn)P，試探究線段AB，AC與PB之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明；
答：線段AB，AC與PB之間的數(shù)量關(guān)系為：AB-AC=PB．
證明：
（2）如圖2，若∠ABC=60°-α，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，且使∠CBP=30°，直接寫(xiě)出∠APC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），寫(xiě)出做題思路．
解：∠APC=120°+α．
做題思路：

Answer 1

分析 （1）在AB上截取AD，使AD=AC．連PD，證明△ACP≌△ADP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明PB=DB，證明結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，BM，證明△AMP≌△ABP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明．

解答 解：（1）AB-AC=PB，
證明：在AB上截取AD，使AD=AC．連PD，
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠BAP，
在△ACP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△ADP（SAS），
∴∠C=∠ADP．
∵△ABC中，∠CAB=42°，∠ABC=32°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°．
∴∠ADP=106°．
∴∠BDP=180°-∠ADP=180°-106°=74°，
∠BPD=∠ADP-∠ABC=106°-32°=74°．
∴∠BDP=∠BPD．
∴PB=DB，
∴AB-AC=AB-AD=DB=PB；
（2）延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，BM，
∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，
∴∠CAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$×2α=α．
在△AMP和△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AB}\\{∠MAP=∠BAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△ABP（SAS）
∴PM=PB，∠ABP=∠AMP．
∵∠ABC=60°-α，∠CBP=30°，
∴∠ABP=（60°-α）-30°=30°-α．
∴∠AMP=∠ABP=30°-α．
△AMB中，AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=（180°-∠MAB）÷2=（180°-2）÷2=90°-α．
∴∠PMB=∠AMB-∠AMP=（90°-α）-（30°-α）=60°．
∴△PMB為等邊三角形．
∵∠CBM=∠ABM-∠ABC=（90°-α）-（60°-α）=30°，
∴∠CBM=∠CBP．
∴BC平分∠PBM．
∴BC垂直平分PM．
∴CP=CM．
∴∠CPM=∠CMP=30°-α．
∴∠ACP=∠CPM+∠CMP=（30°-α）+（30°-α）=60°-2α．
∴△ACP中，∠APC=180°-∠PAM-∠ACP
=180°-α-（60°-2α）
=120°+α．
故答案為：（1）AB-AC=PB；（2）120°+α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．