Question

6．如圖，點(diǎn)P是雙曲線y=$\frac{6}{x}$右支上一動點(diǎn)．PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，D是PB的中點(diǎn)
（1）求過點(diǎn)D的雙曲線的表達(dá)式；
（2）若過點(diǎn)D的雙曲線與PA交于點(diǎn)C，請求出△PDC的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)過點(diǎn)D的雙曲線解析式為：y=$\frac{k}{x}$，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，$\frac{k}{a}$），由D是PB的中點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，$\frac{k}{a}$），代入y=$\frac{6}{x}$得k的值；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，由（1）知點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，$\frac{3}{a}$）、點(diǎn)D（2a，$\frac{3}{a}$）、點(diǎn)C（2a，$\frac{3}{2a}$），繼而分別表示出AC、DE、AE的長，根據(jù)S_△PDC=S_矩形OAPB-S_矩形OEDB-S_梯形ACDE可得答案．

解答 解：（1）設(shè)過點(diǎn)D的雙曲線解析式為：y=$\frac{k}{x}$，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，$\frac{k}{a}$），
∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，D是PB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，$\frac{k}{a}$），
將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=$\frac{6}{x}$得：$\frac{k}{a}=\frac{6}{2a}$，
解得：k=3，
故過點(diǎn)D的雙曲線的表達(dá)式為y=$\frac{3}{x}$；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，

由（1）可知點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，$\frac{3}{a}$）、點(diǎn)D（2a，$\frac{3}{a}$）、點(diǎn)C（2a，$\frac{3}{2a}$），
∴AC=$\frac{3}{2a}$，DE=$\frac{3}{a}$，AE=a，
∴S_△PDC=S_矩形OAPB-S_矩形OEDB-S_梯形ACDE
=6-3-$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{3}{2a}$+$\frac{3}{a}$）
=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，涉及點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，三角形、四邊形面積的計(jì)算，充分運(yùn)用雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于反比例系數(shù)k．