Question

8．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE．
（1）求證：AF=CE；
（2）連接AC，當(dāng)CA=CB時(shí)，判斷四邊形AECF是否為矩形？并給予證明．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)而得出答案；
（2）首先利用平行四邊形的性質(zhì)證明AE∥CF，AE=CF，可證明四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AC=BC，E是AB的中點(diǎn)，可根據(jù)等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線重合證明∠AEC=90°，即可證明平行四邊形AECF是矩形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，
∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴BE=DF=AE=CF，
在△BEC和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠D}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFA（SAS），
∴AF=CE；

（2）四邊形AECF是矩形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，
∵AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC=BC，E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，∴平行四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，以及矩形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）．