Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，-1），的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上位于A、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、AC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
①當(dāng)m為何值時(shí)，△PAC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積；
②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△PAM是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；
（2）①過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長(zhǎng)；然后根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法，可得出關(guān)于△PAC的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)△PAM是等腰直角三角形時(shí)，設(shè)M（4，y），P（m，$\frac{1}{4}$m²-2m+3），分三種情況進(jìn)行討論：Ⅰ）∠M=90°，MA=MP；Ⅱ）∠A=90°，AM=AP；Ⅲ）∠P=90°，PA=PM．

解答 解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x-4）²-1，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-4）²-1，即y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；

（2）①如圖，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q；
可求出AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3；
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-2m+3），
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+3）；
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$；
∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為$\frac{27}{4}$；
此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-$\frac{3}{4}$）；

②∵點(diǎn)P是拋物線上位于A、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，C（6，0），
∴0＜m＜6．
當(dāng)△PAM是等腰直角三角形時(shí)，設(shè)M（4，y），P（m，$\frac{1}{4}$m²-2m+3），分三種情況：
Ⅰ）如果∠M=90°，MA=MP，顯然M（4，3），P（4，-1）；
Ⅱ）如果∠A=90°，AM=AP，如圖，作MN⊥y軸于點(diǎn)N，PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，易證△AMN≌△PAQ，
則MN=AQ=4，即3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=4，解得m=4，
所以P（4，-1），
∵AN=PQ=4，
∴y-3=4，
∴y=7，
∴M（4，7）；
Ⅲ）如果∠P=90°，PA=PM，如圖，作MN⊥y軸于點(diǎn)Q，交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，易證△PQA≌△MNP，
則PQ=MN，AQ=PN，
即m=y-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3），3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=4-m，
∴y=2m-1，
∵AP=PM，
∴m²+（$\frac{1}{4}$m²-2m+3-3）²=（m-4）²+（$\frac{1}{4}$m²-2m+3-2m+1）²，
整理得m³-14m²+40m-32=0，
（m-2）（m²-12m+16）=0，
解得m₁=2，m₂=6+2$\sqrt{5}$，m₃=6-2$\sqrt{5}$．
當(dāng)m₁=2時(shí)，y=3，M（4，3），P（2，0），AP²+PM²=13+13=26≠AM²=16，m₁=2不合題意舍去；
m₂=6+2$\sqrt{5}$＞6，不合題意舍去；
當(dāng)m₃=6-2$\sqrt{5}$時(shí)，M（4，11-4$\sqrt{5}$），P（6-2$\sqrt{5}$，5-2$\sqrt{5}$），AP²+PM²=80-32$\sqrt{5}$+80-32$\sqrt{5}$=160-64$\sqrt{5}$=AM²=160-64$\sqrt{5}$，m₃=6-2$\sqrt{5}$符合題意．
綜上所述，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使得△PAM是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4，3）或（4，7）或M（4，11-4$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積求法，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．