Question

如圖，等邊△ABC中，D、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且CD=BF，以AD為邊向左作等邊△ADE，連接CF、EF，設(shè)BD：DC=K．
（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）判斷四邊形CDEF是怎樣的特殊四邊形，并說明理由；
（3）當(dāng)∠DEF=45°時，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）△ABC為等邊三角形，則可證明△ACD≌△CBF；
（2）根據(jù)△ACD≌△CBF可得AD=CF，即而可證ED∥CF，可得四邊形CDEF是平行四邊形；
（3）易證CH=

1

2

n，DH=

3

2

n，再根據(jù)AH=DH即可求出k的值．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=CB，∠ACB=∠B=60°，
又∵CD=BF，
∴△ACD≌△CBF；
（2）由（1）得△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，AD=CF
又∵△ADE是等邊三角形，
∴ED=AD=CF，∠EDA=60°，
∵∠BDA=∠BDE+∠EDA=∠CAD+60°，
∴∠BDE=∠CAD=∠BCF，
∴ED∥CF，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．
（3）過D點(diǎn)作DH⊥AC垂足為H，

∵BD：DC=K，∴設(shè)BD=nK，DC=n
∵∠ACB=60°，
∴∠HDC=30°，
∴CH=

1

2

n，DH=

3

2

n 
∵四邊形CDEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠DCF=∠CAD=45°
∴∠ADH=∠HAD=45°，
∴AH=DH=

3

2

n，
∴nk+n=

1

2

n+

3

2

n，
∴k=

1

2

+

3

2

-1=

3 -1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)．