Question

某商家計(jì)劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺(tái)，空調(diào)的采購單價(jià)y₁（元/臺(tái)）與采購數(shù)量x₁（臺(tái)）滿足y₁=-20x₁+1500（0＜x₁≤20，x₁為整數(shù)）；冰箱的采購單價(jià)y₂（元/臺(tái)）與采購數(shù)量x₂（臺(tái)）滿足y₂=-10x₂+1300（0＜x₂≤20，x₂為整數(shù)）．
（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的

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，且空調(diào)采購單價(jià)不低于1200元，問該商家共有幾種進(jìn)貨方案？
（2）該商家分別以1760元/臺(tái)和1700元/臺(tái)的銷售單價(jià)售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺(tái)時(shí)總利潤最大？并求最大利潤．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用,一元一次不等式組的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購數(shù)量為（20-x）臺(tái)，然后根據(jù)數(shù)量和單價(jià)列出不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據(jù)空調(diào)臺(tái)數(shù)是正整數(shù)確定進(jìn)貨方案；
（2）設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤等于空調(diào)和冰箱的利潤之和整理得到W與x的函數(shù)關(guān)系式并整理成頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購數(shù)量為（20-x）臺(tái)，
由題意得，

x≥ 11 9 (20-x)① -20x+1500≥1200②

，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式組的解集是11≤x≤15，
∵x為正整數(shù)，
∴x可取的值為11、12、13、14、15，
所以，該商家共有5種進(jìn)貨方案；

（2）設(shè)總利潤為W元，空調(diào)的采購數(shù)量為x臺(tái)，
y₂=-10x₂+1300=-10（20-x）+1300=10x+1100，
則W=（1760-y₁）x₁+（1700-y₂）x₂，
=1760x-（-20x+1500）x+（1700-10x-1100）（20-x），
=1760x+20x²-1500x+10x²-800x+12000，
=30x²-540x+12000，
=30（x-9）²+9570，
當(dāng)x＞9時(shí)，W隨x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴當(dāng)x=15時(shí)，W_最大值=30（15-9）²+9570=10650（元），
答：采購空調(diào)15臺(tái)時(shí)，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，（1）關(guān)鍵在于確定出兩個(gè)不等關(guān)系，（2）難點(diǎn)在于用空調(diào)的臺(tái)數(shù)表示出冰箱的臺(tái)數(shù)并列出利潤的表達(dá)式．