Question

5．閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：
已知：如圖1△ABC，
尺規(guī)作圖：求作∠APC=∠ABC．
甲、乙兩位同學(xué)的主要作法如下：

甲同學(xué)的主要作法，如圖甲：①作∠CAD=∠ACB，且點D與點B在AC的異側(cè)；②在射線AD上截取AP=CB，連結(jié)CP．所以∠APC=∠ABC．
乙同學(xué)的主要作法，如圖乙：①作線段BC的垂直平分線a；②作線段AB的垂直平分線b，與直線a交于點O；③以點O為圓心，OA為半徑作⊙O；④在$\widehat{ABC}$上取一點P（點P不與點A，B，C重合），連結(jié)AP，CP．所以∠ACP=∠ABC．
老師說：“兩位同學(xué)的作法都是正確的．”
請你選擇一位同學(xué)的作法，并說明這位同學(xué)作圖的依據(jù)．
我選擇的是甲的作法，這樣作圖的依據(jù)是內(nèi)錯角相等，兩直線平行；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對角相等．

Answer 1

分析 甲：由內(nèi)錯角相等，兩直線平行；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對角相等可得；
乙：由線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；圓的確定；同弧所對的圓周角相等可得．

解答 解：甲、∵∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC，
又∵AP=CB，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∴∠B=∠APC，
故甲作法的依據(jù)為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對角相等．

乙、∵a為AB的中垂線、b為BC的中垂線，且交點為O，
∴OA=OB=OC，
∴點A、B、C在以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓上，
∴∠APC=∠ABC，
故乙作法的依據(jù)是：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；圓的確定；同弧所對的圓周角相等．
故答案為：甲、內(nèi)錯角相等，兩直線平行；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對角相等．

點評 本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，熟練掌握平行四邊形的判定及中垂線的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．