Question

7．如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AE平分∠BAC交BC于E．
（1）若AD⊥BC于D，∠C=40°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若EF⊥AE交AC于F，求證：∠C=2∠FEC．

Answer 1

分析 （1）首先計(jì)算出∠B，∠BAC的度數(shù)，然后可得∠EAC=30°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而可得答案；
（2）首先證明∠DAE=∠FEC，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠EAC=90°-$\frac{3}{2}$∠C，再利用角之間的和差關(guān)系可得∠DAE=∠DAC-∠EAC，利用等量代換可得∠DAE=$\frac{1}{2}∠$C，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）解：∵∠C=40°，∠B=2∠C，
∴∠B=80°，
∴∠BAC=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=50°，
∴∠DAE=50°-30°=20°；

（2）證明：∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=$\frac{1}{2}$（180°-3∠C）=90°-$\frac{3}{2}$∠C，
∵∠DAE=∠DAC-∠EAC，
∴∠DAE=∠DAC-（90°-$\frac{3}{2}$∠C）=90°-∠C-90°+$\frac{3}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠FEC=$\frac{1}{2}∠$C，
∴∠C=2∠FEC．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°，直角三角形兩銳角互余．