Question

已知二次函數(shù)y=x²+kx+2與x軸兩個(gè)交點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)左側(cè)，頂點(diǎn)為C，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：根據(jù)條件畫出大致圖象，作CD⊥AB于D，可以得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

k

2

，

8-k2

4

），CD=|

8-k2

4

|=

1

2

AB，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），就有AB=|x₂-x₁|，就可以建立方程|

8-k2

4

|=

1

2

|x₂-x₁|，由根與系數(shù)的關(guān)系就可以得出x₁+x₂=-k，x₁x₂=2，將方程變形后求出其解即可．

解答：解：如圖，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），作CD⊥AB于D，
∴AB=|x₂-x₁|，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CD=

1

2

AB．
∵y=x²+kx+2，
∴y=（x+

k

2

）²+

8-k2

4

，
∴C（-

k

2

，

8-k2

4

），
∴CD=|

8-k2

4

|，
∴|

8-k2

4

|=

1

2

|x₂-x₁|，
（

8-k2

4

）²=[

1

2

（x₂-x₁]²，

64-16k2+k4

16

=

1

4

[（x₂+x₁）²-4x₁x₂]，
∵x₁+x₂=-k，x₁x₂=2，
∴

64-16k2+k4

16

=

1

4

（k²-8），
k⁴-20k²+96=0，
解得：k₁=2

2

，k₂=-2

2

，k₃=2

3

，k₄=-2

3

．
∵拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)左側(cè)，
∴a、b同號(hào)，
∵a=1＞0，
∴b=k＞0
∴k=2

2

或2

3

，
∵k=2

2

時(shí)，b²-4ac=0，
∴拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴k=2

3

．
答：k的值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用，高次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用拋物線的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．