Question

8．如圖，△ABC是邊長為9cm的等邊三角形，D、E是邊BC、BA上的動點，D點由B點開始以1cm/秒的速度向C點運動，E點由B點開始以2cm/秒的速度向A點運動，D、E同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t，當其中一點到達邊的端點時，運動便停止，在運動過程中始終保持∠EDF=60°．
（1）求證：∠EDB=∠DFC；
（2）當t=3秒時，判斷△DEF的形狀，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）由∠EDF=60°，得到∠CDF+∠EDB=120°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C=60°，于是得到∠CDF+∠DFC=120°，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)D點由B點開始以1cm/秒的速度向C點運動，E點由B點開始以2cm/秒的速度向A點運動，得到BE=6，BD=3，求得CD=BC-BD=9-3=6，通過△EBD∽△DFC，得到$\frac{BE}{BD}=\frac{CD}{CF}$，求出CF=3，于是得到CF=BD，CD=BE，證得△BDE≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠EDF=60°，
∴∠CDF+∠EDB=120°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
∴∠CDF+∠DFC=120°，
∴∠EDB=∠DFC；

（2）△DEF是等邊三角形，
∵D點由B點開始以1cm/秒的速度向C點運動，E點由B點開始以2cm/秒的速度向A點運動，
∴t=3秒，BE=6，BD=3，
∴CD=BC-BD=9-3=6，
∵△EBD∽△DFC，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{CD}{CF}$，即$\frac{6}{3}=\frac{6}{CF}$，
∴CF=3，
∴CF=BD，CD=BE，
在△BDE與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠B=∠C=60°}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．