Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在直線y=x上．

Answer 1

分析 作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，只要證明PE=PF即可解決問題．

解答 解：作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，則四邊形PEOF是矩形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EPF=∠APB=90°，PB=PA，
∴∠EPA=∠FPB，∵∠PEA=∩PFB，
∴△PEA≌△PFB，
∴PE=PF，
∴∠POE=∠POF，
∴無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在直線y=x上．

點評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．