Question

18．如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．
（1）求證：四邊形BEDF是正方形；
（2）若AB=6，BC=8，求正方形BEDF的邊長(zhǎng)；
（3）如圖2，若AB=6，BC=8，另存在△ABC中的正方形MNPQ，其中PQ在邊AC上，試比較圖1與圖2中兩個(gè)正方形的面積的大�。⊿_{正方形BEDF}與S_{正方形MNPQ}的大小）

Answer 1

分析 （1）由角平分線的性質(zhì)定理推出DE=DF，再證明四邊形DEBF是矩形即可．
（2）設(shè)正方形DEBF的邊長(zhǎng)為x，由DF∥BC，推出$\frac{AF}{AB}$=$\frac{DF}{BC}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）如圖2中，作BH∵NM⊥AC于H，交MN于K，由MN∥AC，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．由△BMN∽△BAC，推出$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BK}{BH}$，列出方程求出x，由此即可判斷．

解答 解：（1）證明：如圖1中，連接BD．


∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF=DE，
∵∠DFB=∠DEB=∠EBF=90°，
∴四邊形DEBF是矩形，∵DE=DF，
∴四邊形DEBF是正方形．

（2）解：設(shè)正方形DEBF的邊長(zhǎng)為x，
∵DF∥BC，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{DF}{BC}$，
∴$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{8}$，
∴x=$\frac{24}{7}$．

（3）解：如圖2中，作BH∵NM⊥AC于H，交MN于K，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．


在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，∵$\frac{1}{2}$•AC•BH=$\frac{1}{2}$•AB•CB，
∴BH=$\frac{24}{5}$，
∵M(jìn)N∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BK}{BH}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$，
∴x=$\frac{120}{37}$，
∵$\frac{24}{7}$＞$\frac{120}{37}$，
∴S_{正方形BEDF}＞S_{正方形MNPQ}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、極品飛車(chē)的性質(zhì)定理、正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．